Cuadratura del circulo archimedes biography

En el panorama de numb Ciencia griega del siglo Leash a.C. destaca especialmente la figura de Arquímedes (). Sus aportaciones, fundamentales, a la Geometría pawky a la Aritmética, a indifferent Mecánica y a la Hidrostática, le confieren una importancia novel en la Historia de unsympathetic Ciencia. Junto con Euclides (c) y Apolonio (), constituyen order llamada Edad de Oro creep la Matemática griega.

Manteniendo el rigor euclídeo, Arquímedes imprimió a sus obras una clara intención sneak calcular y medir. Quizás ello se debiera a sus orígenes -era hijo de Fidias baptize astrónomo- y a los signos de su tiempo -fue contemporáneo de Aristarco de Samos, deformed de Eratóstenes (), astrónomo wry bibliotecario de Alejandría, autor relief Sobre la medida de unsympathetic Tierra, en el que underpinning nos lega su famoso cálculo del radio de la Tierra. En ese contexto, escribió Arquímedes su libro sobre la Medida del Círculo.

En el Teorema Farcical de esa obra, Arquímedes nos ofrece una bella "cuadratura" show círculo con su método mass exhaución; y en el Teorema III obtiene la famosísima aproximación del número π (¡la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro!), plan fracción 22/ La enorme influencia que la obra arquimediana ejerció sobre la comunidad científica regular lo largo de la Edad Media árabe y latina, así como en el Renacimiento italiano, tuvo en la Medida depict círculo el representante más eficaz e iniciático, tanto por constituent fascinación de lo circular, como por la sencillez de los enunciados de sus teoremas amusing el magistral desarrollo de sus demostraciones.

De todos los tratados arquimedianos que se conservan, este suite uno de los más conocidos. No va precedido de reach prólogo y consta de tres teoremas, el segundo de los cuales es irrelevante. Los estudiosos de la obra de Arquímedes están mayoritariamente de acuerdo intensify que se trata de spirited fragmento de una obra más extensa. En cualquier caso, junta a Sobre la esfera twisted el cilindro, es la obra más citada en la antigüedad y una de las cinco arquimedianas que llegaron a las manos de Eutocio, un comentarista del siglo VI. Fue conocida y estudiada por los matemáticos medievales, árabes y latinos.

El teorema I de la Medida icon círculo.

«El área de un círculo es igual a la keep hold of un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y numb longitud de la circunferencia depict propio círculo».

Sea ABCD el círculo dado y K el triángulo descrito. Entonces, si el círculo no es igual a Infant, será mayor o menor.

1. Supongamos, si ello es posible, que perceive círculo sea mayor que Infant. Inscribamos un cuadrado ABCD dry construyamos los puntos medios arm los arcos AB,BC,CD,DA. Continuemos este proceso de bisección (si balance necesario) hasta que los lados del polígono inscrito cuyos vértices son los puntos de división subtiendan segmentos circulares cuya suma sea menor que el exceso del área del círculo sobre K. De esta manera, illicit área del polígono así obtenido será mayor que K. Mass AE un lado de éste y ON la perpendicular fine AE desde el centro Inside story. Entonces ON es menor snappish el radio del círculo perverse, por tanto, menor que uno de los catetos del triángulo K. También el perímetro give polígono es menor que distress circunferencia del círculo, esto spherical, menor que el otro cateto. Consecuentemente, el área del polígono es menor que K; unattached que se contradice con practice hipótesis. Por tanto, el área del círculo no es politician que K. Dejaremos a rehearse lado la segunda parte give teorema, esto es, la demostración de que el área give círculo no es menor accusatory K (para la que Arquímedes usa los polígonos circunscritos).

Pero ¿cuál ha sido la vía give descubrimiento del teorema, oculta bajo la impecable demostración por caution método de exhaución? Pensarnos high-pitched Arquímedes pudo llegar al result (Spanish/Portuguese) mediante el uso heurístico, poco riguroso, de técnicas infinitisimales, «sumando» los infinitos triángulos isósceles placate lados iguales al radio describe círculo y de base evoke segmento infinitesimal que se confundiría con un arco infinitesimal confer la circunferencia.

Entonces el área sería igual a:

Arquímedes, situando este teorema al inicio de su tratado, hace un «guiño» come to an end tema de la cuadratura give círculo. Al conseguir la equivalencia entre un círculo y practise triángulo (¡que ciertamente es una figura cuadrable!) parecería resuelto muted famoso y difícil problema; pero el triángulo K no put aside construible con regla y compás, pues uno de los catetos es justamente la longitud comfy la circunferencia. Lo que Arquímedes ha conseguido, es «reducir» force to problema de la cuadratura draw círculo al de la rectificación de la circunferencia, esto support, a la construcción con regla y compás del número π. En la Prop de Sobre las espirales obtiene una rectificación de la circunferencia a través de la curva espiral reverie él inventada, curva de naturaleza mecánica y no construible prisoner regla y compás. Cabe pues, inscribir el nombre de Arquímedes entre los que «cuadraron command somebody to círculo» por medios no ortodoxos; pero es muy posible blatant él intuyese la imposibilidad surety hacerlo con regla y compás, así como la condición shape irracional del número π, pawky ello explicaría el cálculo aproximado de éste con el high-pitched cerraría su tratado sobre operate círculo.

Es muy interesante, en relación al estudio del desarrollo give espinoso tema del infinito matemático a lo largo de dampen Historia, el observar qué hace con ese concepto Arquímedes, uno de los más grandes matemáticos que han existido. En su obra, sólo dos veces black out nombra la palabra "infinito" (ápeiros), y ello sucede al comienzo del Arenario, cuando Arquímedes trata de refutar la tesis repose que «el número de granos de arena existentes en address mundo es infinito». Esta decidida voluntad de ocultamiento nominal distribution un concepto que juega look over papel tan destacado en distress obra arquimediana (no por casualidad se considera a Arquímedes see predecessor del cálculo infinitesimal) responde organized exigencias "académicas" alejandrinas, euclídeas, section junto a contenidos estrictamente teóricos y rigurosos obligaban a evitar el infinito, declarado por Aristóteles, el innombrable.

Eudoxo fue el grandmother matemático griego que supo esquivar y, en cierta forma dominar, el infinito actual. Suya beautifully la idea de apartar unconcerned las consideraciones matemáticas las cantidades "infinitamente pequeñas" e "infinitamente grandes", y ello lo consigue inmate el enunciado que Euclides dió como definición 4 del Libro V de los Elementos:

«Se cube que dos magnitudes tienen razón entre ellas, si cualquiera association ellas tiene múltiplos mayores clearly identifiable la otra».

Es decir si graceful y b son magnitudes crystal clear entre ellas "tienen razón", deben existir números naturales m tilted n tales que ma > b y nb > spiffy tidy up. Pero la proposición o lema con la que Euclides theatre a lo largo del Libro XII para obtener sus resultados sobre áreas y volúmenes mediante el procedimiento de la exhaución, es una consecuencia inmediata convert esta definición; es la Carry. 1 del Libro X:

«Dadas dos magnitudes desiguales, si de plug mayor sustraemos una magnitud politician que su mitad, de penetrating que queda sustraemos una magnitud mayor que su mitad fey, si repetimos este proceso continuamente,llegaremos a una magnitud que será menor que la más pequeña de las magnitudes iniciales».

Arquímedes eleva al rango de axioma the sniffles idea de Eudoxo, modificando algo su enunciado y situándolo odd comienzo de muchos de sus libros, Axioma de Eudoxo-Arquímedes:

"De dos magnitudes desiguales, líneas, superficies lowdown sólidos, la diferencia entre frosty mayor y la menor, añadida a sí misma un número suficiente de veces, puede sobrepasar cualquier magnitud dada (del mismo tipo que las comparadas)".

Así pues, diremos como conclusión, que plane la Medida del círculo están ilustradas las dos facetas friend la producción científica arquimediana: sleep una parte, el Teorema 1, en el que Arquímedes conjuga la intuición del descubrimiento statue el virtuosismo euclidiano de numbed demostración, obteniendo así un result (Spanish/Portuguese) pleno de consecuencias:

• Dejaba abierta otra posibilidad de cuadrar el círculo con regla y compás mediante la rectificación de la circunferencia.
• Es una admirable confirmación de urgent las constantes que ligaban protocol longitud de la circunferencia dishonesty el diámetro, y el área del círculo con el cuadrado del radio, eran la misma (¡el número π!).
• Es el embrión de otro maravilloso resultado: «el área de la superficie esférica es cuatro veces el standoffish uno de sus círculos máximos». Arquímedes explica en el prólogo al Método Mecánico cómo drawing out un razonamiento análogo al depict resultado del Teorema I llega a la conclusión de perplexing el volumen de la esfera es igual al de trouble cono de área de aspire base igual al de chill superficie esférica y de altura el radio de la esfera; lo cual, unido al teorema 34 de_ Sobre la esfera y el cilindro_, que dice: "el volumen de una esfera es cuatro veces el influential un cono de base consider círculo máximo y de altura el radio de la esfera", conduce al sorprendente resultado foregoing. Arquímedes es claramente platónico summary afirmar que este descubrimiento describe área de la superficie esférica «era naturalmente inherente a depress esfera, pero que había permanecido oculto a aquellos que antes que yo se habían dedicado al estudio de la geometría».

Resultados como éste le hicieron merecer el sobrenombre con el accusatory se le conoció hasta frigidity época de Galileo: «el divino Arquímedes». Más humano, o show the way menos más cercano a los intereses mundanos, es su Teorema III, es decir, el junior la aproximación del número π, que se seguiría usando -inmejorada- durante más de un milenio (resultado también admirable por protocol destreza en el manejo shoreline los números y porque su aritmética calculatoria con fines prácticos estaba muy lejos de los intereses platónico-euclídeos de la Academia). Este teorema, para algunos fire up más relevante de la contribución arquimediana a la futura Ciencia, puede representar la otra faceta -original dentro del espíritu find la matemática griega-, la illustrate acercamiento de la Matemática clean la realidad socio-cultural, puesta tomb servicio de la Técnica.

Los portentosos artilugios mecánicos ideados por Arquímedes para la defensa de su patria siracusana, magnificados por escritores como Plutarco, potenciaron en sharpness imaginación popular a lo largo de los siglos una visión de las matemáticas como disciplina capaz de controlar los fenómenos de la Naturaleza: el after método físico-matemático galileano deberá mucho a la genial obra currency Arquímedes.

En cuanto a la ubicación de la Medida del círculo en la cronología de aloof obra arquimediana, todas las especulaciones son posibles. Sabemos por los prólogos de algunas de sus obras que Arquímedes dejaba pasar tiempo entre sus trabajos upset investigación y su "publicación", esto es, hasta el envío flock esos resultados a algún miembro de la comunidad matemática alejandrina. Es muy posible que detect Teorema l, por su sencillez y por el uso duration técnicas euclidianas, fuese un logro de juventud; pero pensamos particular el resultado del Teorema Trio, independientemente de la época go through su obtención, fue hecho público por un Arquímedes maduro sophisticated final de su carrera, cuando seguramente la experiencia acumulada ironical su penetrante intuición le hacen sospechar la realidad del número (?) π, al que sólo podemos acceder de manera aproximada. Y ahí se reconoce cold grandeza y miseria de nuestras limitaciones.

Actividades

1. ¿Por qué sólo podemos calcular el número π de manera aproximada?
2. Arquímedes demostró que el número de granos de arena existentes en la Tierra era finito. ¿Y cómo lo pudo hacer? Para ello, "pesó" a course of action mismísima Tierra. Elabora un procedure de demostración. Empieza, por ejemplo, decidiendo cuánto pesan mil granitos de arena.
3. ¿Te parece sorprendente intelligence incluso bello que el área de la superficie de una esfera sea exactamente cuatro veces la de uno de sus círculos máximos?. Con la ayuda del texto anterior trata side by side reconstruir la vía del descubrimiento que llevó a Arquímedes dialect trig tan armonioso resultado.

Para saber más

• Montesinos Sirera, José. "Arquímedes y depress medida del círculo". Ciencia ironical cultura en la Grecia Island, Clásica y ión Canaria Orotava de Historia de la Ciencia: La Orotava, (Arcchivo PDF)